Ayudantía 3 Elementos de Mecánica — Círculo de Mohr y Teoría de Falla de Von Mises

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En esta ayudantía se desarrollan conceptos fundamentales asociados al análisis de esfuerzos en dos dimensiones, basados en los contenidos de Resistencia de Materiales y Mecánica de Materiales. El objetivo principal es reforzar contenidos relacionados con:
  • Estado plano de esfuerzos
  • Esfuerzos principales
  • Esfuerzo cortante máximo
  • Círculo de Mohr en 2D
  • Orientación de planos principales
  • Teoría de falla de Von Mises
  • Integración de esfuerzos normales y cortantes


1. Resumen Teórico

Estado plano de esfuerzos

Un estado plano de esfuerzos queda definido por:

\[\sigma_x\] \[\sigma_y\] \[\tau_{xy}\]

donde:

  • $\sigma_x$: esfuerzo normal en dirección x.
  • $\sigma_y$: esfuerzo normal en dirección y.
  • $\tau_{xy}$: esfuerzo cortante.

Esfuerzos principales

\[\sigma_{1,2}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}\]

Esfuerzo cortante máximo

\[\tau_{max} = \sqrt{ \left( \frac{\sigma_x-\sigma_y}{2} \right)^2 + \tau_{xy}^2 }\]

Orientación de los planos principales

\[\tan(2\theta_p) = \frac{2\tau_{xy}} {\sigma_x-\sigma_y}\]

Centro del círculo de Mohr

\[C= \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\]

Radio del círculo de Mohr

\[R= \sqrt{ \left( \frac{\sigma_x-\sigma_y}{2} \right)^2 + \tau_{xy}^2 }\]

Teoría de Von Mises

\[\sigma_{VM} = \sqrt{ \sigma_x^2 - \sigma_x\sigma_y + \sigma_y^2 + 3\tau_{xy}^2 }\]

Factor de seguridad

\[n= \frac{\sigma_Y} {\sigma_{VM}}\]


2. Formulario Resumen

TemaFórmula
Centro de Mohr$C=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}$
Radio de Mohr$R=\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}$
Esfuerzo principal mayor$\sigma_1=C+R$
Esfuerzo principal menor$\sigma_2=C-R$
Cortante máximo$\tau_{max}=R$
Orientación principal$\tan(2\theta_p)=\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}$
Von Mises$\sigma_{VM}=\sqrt{\sigma_x^2-\sigma_x\sigma_y+\sigma_y^2+3\tau_{xy}^2}$
Factor de seguridad$n=\frac{\sigma_Y}{\sigma_{VM}}$


3. Ejercicios

Ejercicio 1 — Repaso de esfuerzo normal y deformación

Enunciado

Una barra de acero de longitud 2.5 m y diámetro 20 mm está sometida a una carga axial de tracción de 80 kN.

Considere:

\[E=200\,GPa\]

Se pide

  1. Esfuerzo normal.
  2. Deformación unitaria.
  3. Alargamiento.

Solución Ejercicio 1

Área transversal

\[A= \frac{\pi d^2}{4}\] \[A= \frac{\pi(20)^2}{4} = 314.16\,mm^2\]

Esfuerzo normal

\[\sigma= \frac{P}{A}\] \[\sigma= \frac{80000}{314.16} = 254.65\,MPa\]

Deformación unitaria

\[\varepsilon= \frac{\sigma}{E}\] \[\varepsilon= \frac{254.65\times10^6} {200\times10^9} = 1.27\times10^{-3}\]

Alargamiento

\[\delta= \varepsilon L\] \[\delta= (1.27\times10^{-3})(2.5) = 3.18\,mm\]

Resultado

\[\boxed{\sigma=254.65\,MPa}\] \[\boxed{\delta=3.18\,mm}\]

Ejercicio 2 — Repaso de torsión

Enunciado

Un eje macizo de acero de diámetro 50 mm transmite un torque de 2 kN·m.

Considere:

\[G=80\,GPa\] \[L=2\,m\]

Se pide

  1. Esfuerzo cortante máximo.
  2. Ángulo de torsión.

Solución Ejercicio 2

Momento polar

\[J= \frac{\pi d^4}{32}\] \[J= 6.14\times10^{-7}\,m^4\]

Esfuerzo cortante máximo

\[\tau= \frac{Tc}{J}\] \[\tau= \frac{(2000)(0.025)} {6.14\times10^{-7}} = 81.4\,MPa\]

Ángulo de torsión

\[\phi= \frac{TL}{JG}\] \[\phi= \frac{(2000)(2)} {(6.14\times10^{-7})(80\times10^9)} = 0.0814\,rad\] \[\phi= 4.66^\circ\]

Resultado

\[\boxed{\tau_{max}=81.4\,MPa}\] \[\boxed{\phi=4.66^\circ}\]

Ejercicio 3 — Esfuerzos principales

Enunciado

Un elemento está sometido al siguiente estado plano de esfuerzos:

\[\sigma_x=80\,MPa\] \[\sigma_y=20\,MPa\] \[\tau_{xy}=30\,MPa\]

Se pide

  1. Centro del círculo de Mohr.
  2. Radio del círculo.
  3. Esfuerzos principales.

Solución Ejercicio 3

Centro

\[C= \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\] \[C= \frac{80+20}{2} = 50\,MPa\]

Radio

\[R= \sqrt{ \left( \frac{80-20}{2} \right)^2 + 30^2 }\] \[R= 42.43\,MPa\]

Esfuerzo principal mayor

\[\sigma_1=C+R\] \[\sigma_1= 50+42.43 = 92.43\,MPa\]

Esfuerzo principal menor

\[\sigma_2=C-R\] \[\sigma_2= 50-42.43 = 7.57\,MPa\]

Resultados

\[\boxed{\sigma_1=92.43\,MPa}\] \[\boxed{\sigma_2=7.57\,MPa}\]

Ejercicio 4 — Círculo de Mohr completo

Enunciado

Un elemento está sometido al siguiente estado plano de esfuerzos:

\[\sigma_x=120\,MPa\] \[\sigma_y=-40\,MPa\] \[\tau_{xy}=50\,MPa\]

Se pide

  1. Centro del círculo de Mohr.
  2. Radio del círculo.
  3. Esfuerzos principales.
  4. Esfuerzo cortante máximo.
  5. Orientación de los planos principales.

Solución Ejercicio 4

Centro del círculo

\(C= \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\) \(C= \frac{120-40}{2} = 40\,MPa\)

Radio

\(R= \sqrt{ \left( \frac{120-(-40)}{2} \right)^2 + 50^2 }\)

\[R= \sqrt{ 80^2+50^2 }\] \[R= 94.34\,MPa\]

Esfuerzo principal mayor

\[\sigma_1= C+R\] \[\sigma_1= 40+94.34 = 134.34\,MPa\]

Esfuerzo principal menor

\(\sigma_2= C-R\)
\(\sigma_2= 40-94.34 = -54.34\,MPa\)

Esfuerzo cortante máximo

\(\tau_{max}=R\) \(\tau_{max} = 94.34\,MPa\)

Orientación principal

\(\tan(2\theta_p) = \frac{2\tau_{xy}} {\sigma_x-\sigma_y}\) \(\tan(2\theta_p) = \frac{100}{160}\) \(2\theta_p= 32.0^\circ\)

\[\theta_p= 16.0^\circ\]

Resultados

\(\boxed{ \sigma_1=134.34\,MPa }\) \(\boxed{ \sigma_2=-54.34\,MPa }\)

\(\boxed{ \tau_{max}=94.34\,MPa }\) \(\boxed{ \theta_p=16.0^\circ }\) —

Ejercicio 5 — Teoría de falla de Von Mises

Enunciado

Un elemento de acero está sometido a:

\[\sigma_x=100\,MPa\] \[\sigma_y=30\,MPa\] \[\tau_{xy}=40\,MPa\]

El límite de fluencia del material es:

\[\sigma_Y=250\,MPa\]

Se pide

  1. Esfuerzo equivalente de Von Mises.
  2. Factor de seguridad.
  3. Determinar si existe fluencia.

Solución Ejercicio 5

Esfuerzo equivalente de Von Mises

\[\sigma_{VM} = \sqrt{ \sigma_x^2 -\sigma_x\sigma_y +\sigma_y^2 + 3\tau_{xy}^2 }\]

Sustituyendo:

\[\sigma_{VM} = \sqrt{ 100^2 -(100)(30) +30^2 +3(40)^2 }\] \[\sigma_{VM} = \sqrt{ 10000 -3000 +900 +4800 }\] \[\sigma_{VM} = \sqrt{ 12700 }\] \[\sigma_{VM} = 112.69\,MPa\]

Factor de seguridad

\[n= \frac{\sigma_Y} {\sigma_{VM}}\] \[n= \frac{250} {112.69}\] \[n=2.22\]

Verificación de falla

Como:

\[\sigma_{VM} < \sigma_Y\]

entonces:

\[112.69<250\]

El material trabaja de forma segura.

Resultados

\[\boxed{ \sigma_{VM}=112.69\,MPa }\] \[\boxed{ n=2.22 }\]

No existe fluencia.

Ejercicio 6 — Problema Integrador

Enunciado

Un eje macizo de acero está sometido simultáneamente a:

  • Carga axial:
\[P=120\,kN\]
  • Torque:
\[T=2\,kN\cdot m\]

Diámetro:

\[d=40\,mm\]

Límite de fluencia:

\[\sigma_Y=250\,MPa\]

Se pide

  1. Esfuerzo normal.
  2. Esfuerzo cortante.
  3. Esfuerzos principales.
  4. Esfuerzo equivalente de Von Mises.
  5. Factor de seguridad.

Solución Ejercicio 6

Área transversal

\[A= \frac{\pi d^2}{4}\] \[A= \frac{\pi(40)^2}{4} = 1256.64\,mm^2\]

Esfuerzo normal

\[\sigma= \frac{P}{A}\] \[\sigma= \frac{120000} {1256.64} = 95.49\,MPa\]

Momento polar

\[J= \frac{\pi d^4}{32}\] \[J= 2.51\times10^5\,mm^4\]

Esfuerzo cortante

\[\tau= \frac{Tc}{J}\] \[\tau= \frac{ (2\times10^6)(20) } { 2.51\times10^5 }\] \[\tau= 159.2\,MPa\]

Esfuerzos principales

Como:

\[\sigma_x=95.49\,MPa\] \[\sigma_y=0\] \[\tau_{xy}=159.2\,MPa\]

Centro:

\[C= \frac{95.49}{2} = 47.75\,MPa\]

Radio:

\[R= \sqrt{ 47.75^2 + 159.2^2 } = 166.2\,MPa\]

Esfuerzos principales

\[\sigma_1= 47.75+166.2 = 213.95\,MPa\] \[\sigma_2= 47.75-166.2 = -118.45\,MPa\]

Von Mises

\[\sigma_{VM} = \sqrt{ 95.49^2 + 3(159.2)^2 }\] \[\sigma_{VM} = 291.9\,MPa\]

Factor de seguridad

\[n= \frac{250} {291.9}\] \[n=0.86\]

Interpretación

Como:

\[n<1\]

el eje falla por fluencia.

Resultados

\[\boxed{ \sigma=95.49\,MPa }\] \[\boxed{ \tau=159.2\,MPa }\] \[\boxed{ \sigma_1=213.95\,MPa }\] \[\boxed{ \sigma_2=-118.45\,MPa }\] \[\boxed{ \sigma_{VM}=291.9\,MPa }\] \[\boxed{ n=0.86 }\]

5. Errores Frecuentes de los Estudiantes

En Círculo de Mohr

  • Confundir centro con radio.
  • Utilizar signos incorrectos para el esfuerzo cortante.
  • Intercambiar esfuerzos principales.

En Von Mises

  • Olvidar el término:
\[-\sigma_x\sigma_y\]
  • Utilizar resistencia última en lugar de límite de fluencia.

En problemas combinados

  • Mezclar unidades de MPa y Pa.
  • No convertir N·m a N·mm.
  • Utilizar radios en lugar de diámetros incorrectamente.

Recomendaciones para el Examen

  • Dibujar siempre el elemento diferencial.
  • Identificar claramente los esfuerzos normales y cortantes.
  • Calcular primero centro y radio del círculo de Mohr.
  • Verificar que $\sigma_1>\sigma_2$.
  • Comprobar unidades antes de reemplazar valores.
  • Evaluar siempre el criterio de Von Mises cuando se solicite verificar falla.
  • Encerrar los resultados finales.


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