Ayudantía 3 Elementos de Mecánica — Círculo de Mohr y Teoría de Falla de Von Mises

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Published: June 21, 2026

Esta ayudantía corresponde al repaso de la Unidad III del curso Elementos de Mecánica y Resistencia de Materiales, enfocándose en los contenidos que habitualmente presentan mayor dificultad en el examen final:

Estado plano de esfuerzos.
Esfuerzos principales.
Círculo de Mohr en dos dimensiones.
Transformación de esfuerzos.
Teoría de falla de Von Mises.
Esfuerzos combinados.

Los contenidos correspondientes a las dos primeras unidades del curso ya fueron desarrollados en las ayudantías anteriores y también forman parte del examen.

Material de apoyo recomendado

Unidad I — Estática y Dinámica de Fluidos

https://carlosnavarroc.github.io/posts/2026/04/07/guia-fluidos/

En esta guía se revisan:

Propiedades de los fluidos.
Presión.
Hidrostática.
Ecuación de Bernoulli.
Ecuación General de la Energía.
Sistemas de tuberías.
Bombas y turbomáquinas.

Unidad II — Resistencia de Materiales

https://carlosnavarroc.github.io/posts/2026/05/07/ayudantia-resistencia-materiales-beer-johnston/

En esta guía se revisan:

Equilibrio del cuerpo rígido.
Diagramas de cuerpo libre.
Esfuerzos normales.
Deformación unitaria.
Ley de Hooke.
Torsión.
Cálculo de reacciones.
Compatibilidad de deformaciones.
Barras sometidas a carga axial.

Contenidos evaluados en el examen

De acuerdo con el programa del curso, el examen considera las tres unidades desarrolladas durante el semestre.

Unidad	Contenidos principales
Unidad I	Mecánica de Fluidos
Unidad II	Resistencia de Materiales
Unidad III	Estado plano de esfuerzos, Círculo de Mohr y Teoría de Von Mises

Esta ayudantía se concentra principalmente en la Unidad III, ya que las Unidades I y II fueron desarrolladas en las guías anteriores.

1. Resumen Teórico

Estado plano de esfuerzos

Un estado plano de esfuerzos queda definido por:

\[\sigma_x\] \[\sigma_y\] \[\tau_{xy}\]

donde:

$\sigma_x$: esfuerzo normal en dirección x.
$\sigma_y$: esfuerzo normal en dirección y.
$\tau_{xy}$: esfuerzo cortante.

Esfuerzos principales

\[\sigma_{1,2}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}\]

Esfuerzo cortante máximo

\[\tau_{max} = \sqrt{ \left( \frac{\sigma_x-\sigma_y}{2} \right)^2 + \tau_{xy}^2 }\]

Orientación de los planos principales

\[\tan(2\theta_p) = \frac{2\tau_{xy}} {\sigma_x-\sigma_y}\]

Centro del círculo de Mohr

\[C= \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\]

Radio del círculo de Mohr

\[R= \sqrt{ \left( \frac{\sigma_x-\sigma_y}{2} \right)^2 + \tau_{xy}^2 }\]

Teoría de Von Mises

\[\sigma_{VM} = \sqrt{ \sigma_x^2 - \sigma_x\sigma_y + \sigma_y^2 + 3\tau_{xy}^2 }\]

Factor de seguridad

\[n= \frac{\sigma_Y} {\sigma_{VM}}\]

2. Formulario Resumen

Tema	Fórmula
Centro de Mohr	$C=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}$
Radio de Mohr	$R=\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}$
Esfuerzo principal mayor	$\sigma_1=C+R$
Esfuerzo principal menor	$\sigma_2=C-R$
Cortante máximo	$\tau_{max}=R$
Orientación principal	$\tan(2\theta_p)=\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}$
Von Mises	$\sigma_{VM}=\sqrt{\sigma_x^2-\sigma_x\sigma_y+\sigma_y^2+3\tau_{xy}^2}$
Factor de seguridad	$n=\frac{\sigma_Y}{\sigma_{VM}}$

3. Ejercicios

Ejercicio 1 — Repaso de esfuerzo normal y deformación

Enunciado

Una barra de acero de longitud 2.5 m y diámetro 20 mm está sometida a una carga axial de tracción de 80 kN.

Considere:

\[E=200\,GPa\]

Se pide

Esfuerzo normal.
Deformación unitaria.
Alargamiento.

Solución Ejercicio 1

Área transversal

\[A= \frac{\pi d^2}{4}\] \[A= \frac{\pi(20)^2}{4} = 314.16\,mm^2\]

Esfuerzo normal

\[\sigma= \frac{P}{A}\] \[\sigma= \frac{80000}{314.16} = 254.65\,MPa\]

Deformación unitaria

\[\varepsilon= \frac{\sigma}{E}\] \[\varepsilon= \frac{254.65\times10^6} {200\times10^9} = 1.27\times10^{-3}\]

Alargamiento

\[\delta= \varepsilon L\] \[\delta= (1.27\times10^{-3})(2.5) = 3.18\,mm\]

Resultado

\[\boxed{\sigma=254.65\,MPa}\] \[\boxed{\delta=3.18\,mm}\]

Ejercicio 2 — Repaso de torsión

Enunciado

Un eje macizo de acero de diámetro 50 mm transmite un torque de 2 kN·m.

Considere:

\[G=80\,GPa\] \[L=2\,m\]

Se pide

Esfuerzo cortante máximo.
Ángulo de torsión.

Solución Ejercicio 2

Momento polar

\[J= \frac{\pi d^4}{32}\] \[J= 6.14\times10^{-7}\,m^4\]

Esfuerzo cortante máximo

\[\tau= \frac{Tc}{J}\] \[\tau= \frac{(2000)(0.025)} {6.14\times10^{-7}} = 81.4\,MPa\]

Ángulo de torsión

\[\phi= \frac{TL}{JG}\] \[\phi= \frac{(2000)(2)} {(6.14\times10^{-7})(80\times10^9)} = 0.0814\,rad\] \[\phi= 4.66^\circ\]

Resultado

\[\boxed{\tau_{max}=81.4\,MPa}\] \[\boxed{\phi=4.66^\circ}\]

Ejercicio 3 — Esfuerzos principales

Enunciado

Un elemento está sometido al siguiente estado plano de esfuerzos:

\[\sigma_x=80\,MPa\] \[\sigma_y=20\,MPa\] \[\tau_{xy}=30\,MPa\]

Se pide

Centro del círculo de Mohr.
Radio del círculo.
Esfuerzos principales.

Solución Ejercicio 3

Centro

\[C= \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\] \[C= \frac{80+20}{2} = 50\,MPa\]

Radio

\[R= \sqrt{ \left( \frac{80-20}{2} \right)^2 + 30^2 }\] \[R= 42.43\,MPa\]

Esfuerzo principal mayor

\[\sigma_1=C+R\] \[\sigma_1= 50+42.43 = 92.43\,MPa\]

Esfuerzo principal menor

\[\sigma_2=C-R\] \[\sigma_2= 50-42.43 = 7.57\,MPa\]

Resultados

\[\boxed{\sigma_1=92.43\,MPa}\] \[\boxed{\sigma_2=7.57\,MPa}\]

Ejercicio 4 — Círculo de Mohr completo

Enunciado

Un elemento está sometido al siguiente estado plano de esfuerzos:

\[\sigma_x=120\,MPa\] \[\sigma_y=-40\,MPa\] \[\tau_{xy}=50\,MPa\]

Se pide

Centro del círculo de Mohr.
Radio del círculo.
Esfuerzos principales.
Esfuerzo cortante máximo.
Orientación de los planos principales.

Solución Ejercicio 4

Centro del círculo

\[C= \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\] \[C= \frac{120-40}{2} = 40\,MPa\]

Radio

$R= \sqrt{ \left( \frac{120-(-40)}{2} \right)^2 + 50^2 }$

\[R= \sqrt{ 80^2+50^2 }\] \[R= 94.34\,MPa\]

Esfuerzo principal mayor

\[\sigma_1= C+R\] \[\sigma_1= 40+94.34 = 134.34\,MPa\]

Esfuerzo principal menor

\[\sigma_2= C-R\] \[\sigma_2= 40-94.34 = -54.34\,MPa\]

Esfuerzo cortante máximo

\[\tau_{max}=R\] \[\tau_{max} = 94.34\,MPa\]

Orientación principal

\[\tan(2\theta_p) = \frac{2\tau_{xy}} {\sigma_x-\sigma_y}\] \[\tan(2\theta_p) = \frac{100}{160}\] \[2\theta_p= 32.0^\circ\] \[\theta_p= 16.0^\circ\]

Resultados

\[\boxed{ \sigma_1=134.34\,MPa }\] \[\boxed{ \sigma_2=-54.34\,MPa }\] \[\boxed{ \tau_{max}=94.34\,MPa }\] \[\boxed{ \theta_p=16.0^\circ }\]

Ejercicio 5 — Teoría de falla de Von Mises

Enunciado

Un elemento de acero está sometido a:

\[\sigma_x=100\,MPa\] \[\sigma_y=30\,MPa\] \[\tau_{xy}=40\,MPa\]

El límite de fluencia del material es:

\[\sigma_Y=250\,MPa\]

Se pide

Esfuerzo equivalente de Von Mises.
Factor de seguridad.
Determinar si existe fluencia.

Solución Ejercicio 5

Esfuerzo equivalente de Von Mises

\[\sigma_{VM} = \sqrt{ \sigma_x^2 -\sigma_x\sigma_y +\sigma_y^2 + 3\tau_{xy}^2 }\]

Sustituyendo:

\[\sigma_{VM} = \sqrt{ 100^2 -(100)(30) +30^2 +3(40)^2 }\] \[\sigma_{VM} = \sqrt{ 10000 -3000 +900 +4800 }\] \[\sigma_{VM} = \sqrt{ 12700 }\] \[\sigma_{VM} = 112.69\,MPa\]

Factor de seguridad

\[n= \frac{\sigma_Y} {\sigma_{VM}}\] \[n= \frac{250} {112.69}\] \[n=2.22\]

Verificación de falla

Como:

\[\sigma_{VM} < \sigma_Y\]

entonces:

\[112.69<250\]

El material trabaja de forma segura.

Resultados

\[\boxed{ \sigma_{VM}=112.69\,MPa }\] \[\boxed{ n=2.22 }\]

No existe fluencia.

Ejercicio 6 — Problema Integrador

Enunciado

Un eje macizo de acero está sometido simultáneamente a:

Carga axial:

\[P=120\,kN\]

Torque:

\[T=2\,kN\cdot m\]

Diámetro:

\[d=40\,mm\]

Límite de fluencia:

\[\sigma_Y=250\,MPa\]

Se pide

Esfuerzo normal.
Esfuerzo cortante.
Esfuerzos principales.
Esfuerzo equivalente de Von Mises.
Factor de seguridad.

Solución Ejercicio 6

Área transversal

\[A= \frac{\pi d^2}{4}\] \[A= \frac{\pi(40)^2}{4} = 1256.64\,mm^2\]

Esfuerzo normal

\[\sigma= \frac{P}{A}\] \[\sigma= \frac{120000} {1256.64} = 95.49\,MPa\]

Momento polar

\[J= \frac{\pi d^4}{32}\] \[J= 2.51\times10^5\,mm^4\]

Esfuerzo cortante

\[\tau= \frac{Tc}{J}\] \[\tau= \frac{ (2\times10^6)(20) } { 2.51\times10^5 }\] \[\tau= 159.2\,MPa\]

Esfuerzos principales

Como:

\[\sigma_x=95.49\,MPa\] \[\sigma_y=0\] \[\tau_{xy}=159.2\,MPa\]

Centro:

\[C= \frac{95.49}{2} = 47.75\,MPa\]

Radio:

\[R= \sqrt{ 47.75^2 + 159.2^2 } = 166.2\,MPa\]

Esfuerzos principales

\[\sigma_1= 47.75+166.2 = 213.95\,MPa\] \[\sigma_2= 47.75-166.2 = -118.45\,MPa\]

Von Mises

\[\sigma_{VM} = \sqrt{ 95.49^2 + 3(159.2)^2 }\] \[\sigma_{VM} = 291.9\,MPa\]

Factor de seguridad

\[n= \frac{250} {291.9}\] \[n=0.86\]

Interpretación

Como:

\[n<1\]

el eje falla por fluencia.

Resultados

\[\boxed{ \sigma=95.49\,MPa }\] \[\boxed{ \tau=159.2\,MPa }\] \[\boxed{ \sigma_1=213.95\,MPa }\] \[\boxed{ \sigma_2=-118.45\,MPa }\] \[\boxed{ \sigma_{VM}=291.9\,MPa }\] \[\boxed{ n=0.86 }\]

5. Errores Frecuentes de los Estudiantes

En Círculo de Mohr

Confundir centro con radio.
Utilizar signos incorrectos para el esfuerzo cortante.
Intercambiar esfuerzos principales.

En Von Mises

Olvidar el término:

\[-\sigma_x\sigma_y\]

Utilizar resistencia última en lugar de límite de fluencia.

En problemas combinados

Mezclar unidades de MPa y Pa.
No convertir N·m a N·mm.
Utilizar radios en lugar de diámetros incorrectamente.

Recomendaciones para el Examen

Dibujar siempre el elemento diferencial.
Identificar claramente los esfuerzos normales y cortantes.
Calcular primero centro y radio del círculo de Mohr.
Verificar que $\sigma_1>\sigma_2$.
Comprobar unidades antes de reemplazar valores.
Evaluar siempre el criterio de Von Mises cuando se solicite verificar falla.
Encerrar los resultados finales.

6. Problemas Desafiantes

Los siguientes problemas integran conceptos de estado plano de esfuerzos, círculo de Mohr y teoría de falla. Su nivel de dificultad es similar al esperado en una evaluación final de Resistencia de Materiales.

Problema 7 — Transformación de esfuerzos

Enunciado

Un elemento está sometido al siguiente estado plano de esfuerzos:

\[\sigma_x=140\,MPa\] \[\sigma_y=40\,MPa\] \[\tau_{xy}=60\,MPa\]

Determine:

Los esfuerzos sobre un plano girado 25° en sentido antihorario.
Los esfuerzos principales.
El esfuerzo cortante máximo.

Solución Problema 7

Centro del círculo de Mohr

\[C= \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} = \frac{140+40}{2} = 90\,MPa\]

Radio

\[R= \sqrt{ \left( \frac{140-40}{2} \right)^2 + 60^2 }\] \[R= \sqrt{50^2+60^2} = 78.10\,MPa\]

Esfuerzos principales

\[\sigma_1=C+R\] \[\sigma_1= 90+78.10 = 168.10\,MPa\] \[\sigma_2=C-R\] \[\sigma_2= 90-78.10 = 11.90\,MPa\]

Cortante máximo

\[\tau_{max}=R\] \[\tau_{max} = 78.10\,MPa\]

Orientación solicitada

\[\theta=25^\circ \qquad 2\theta=50^\circ\]

Transformación de esfuerzos:

\[\sigma_{x'} = C+ \frac{\sigma_x-\sigma_y}{2} \cos(50^\circ) + \tau_{xy}\sin(50^\circ)\] \[\sigma_{x'} = 90+ 50(0.6428) + 60(0.7660)\] \[\sigma_{x'} = 168.11\,MPa\]

\[\tau_{x'y'} = - 50(0.7660) + 60(0.6428)\] \[\tau_{x'y'} = 0.25\,MPa\]

Resultados

\[\boxed{\sigma_{x'}=168.11\,MPa}\] \[\boxed{\tau_{x'y'}=0.25\,MPa}\] \[\boxed{\sigma_1=168.10\,MPa}\] \[\boxed{\sigma_2=11.90\,MPa}\] \[\boxed{\tau_{max}=78.10\,MPa}\]

Problema 8 — Diseño mediante Von Mises

Enunciado

Un componente mecánico de acero está sometido al siguiente estado plano de esfuerzos:

\[\sigma_x=180\,MPa\] \[\sigma_y=50\,MPa\] \[\tau_{xy}=75\,MPa\]

El material posee un límite de fluencia de:

\[\sigma_Y=250\,MPa\]

Determine:

El esfuerzo equivalente de Von Mises.
El factor de seguridad.
Si el componente falla o no.

Solución Problema 8

Von Mises

\[\sigma_{VM} = \sqrt{ \sigma_x^2 - \sigma_x\sigma_y + \sigma_y^2 + 3\tau_{xy}^2 }\] \[\sigma_{VM} = \sqrt{ 180^2 - 180(50) + 50^2 + 3(75)^2 }\] \[\sigma_{VM} = \sqrt{ 42775 }\] \[\sigma_{VM} = 206.82\,MPa\]

Factor de seguridad

\[n= \frac{\sigma_Y}{\sigma_{VM}}\] \[n= \frac{250}{206.82} = 1.21\]

Verificación

\[206.82<250\]

No existe fluencia.

Resultados

\[\boxed{\sigma_{VM}=206.82\,MPa}\] \[\boxed{n=1.21}\]

El componente trabaja en condición segura.

Problema 9 — Reconstrucción del círculo de Mohr

Enunciado

Para un determinado elemento se sabe que los esfuerzos principales son:

\[\sigma_1=220\,MPa\] \[\sigma_2=-40\,MPa\]

Determine:

Centro del círculo de Mohr.
Radio.
Esfuerzo cortante máximo.
Dibuje esquemáticamente el círculo de Mohr.

Solución Problema 9

Centro

\[C= \frac{\sigma_1+\sigma_2}{2}\] \[C= \frac{220-40}{2} = 90\,MPa\]

Radio

\[R= \frac{\sigma_1-\sigma_2}{2}\] \[R= \frac{220-(-40)}{2} = 130\,MPa\]

Cortante máximo

\[\tau_{max}=R\] \[\tau_{max} = 130\,MPa\]

Resultados

\[\boxed{C=90\,MPa}\] \[\boxed{R=130\,MPa}\] \[\boxed{\tau_{max}=130\,MPa}\]

Problema 10 — Eje sometido a carga axial y torsión

Enunciado

Un eje macizo de acero de diámetro

\[d=45\,mm\]

está sometido simultáneamente a:

\[P=150\,kN\] \[T=3\,kN\cdot m\]

Considere un límite de fluencia:

\[\sigma_Y=250\,MPa\]

Determine:

Esfuerzo normal.
Esfuerzo cortante.
Esfuerzos principales.
Esfuerzo equivalente de Von Mises.
Factor de seguridad.

Solución Problema 10

Área

\[A= \frac{\pi d^2}{4}\] \[A= 1590.43\,mm^2\]

Esfuerzo normal

\[\sigma= \frac{150000}{1590.43} = 94.31\,MPa\]

Momento polar

\[J= \frac{\pi d^4}{32}\] \[J= 4.03\times10^5\,mm^4\]

Esfuerzo cortante

Usando:

\[T=3\times10^6\,N\cdot mm\] \[c=22.5\,mm\] \[\tau= \frac{Tc}{J}\] \[\tau= 167.5\,MPa\]

Esfuerzos principales

\[C= \frac{94.31}{2} = 47.16\,MPa\] \[R= \sqrt{ 47.16^2+ 167.5^2 } = 174.0\,MPa\]

\[\sigma_1= 47.16+174.0 = 221.16\,MPa\] \[\sigma_2= 47.16-174.0 =-126.84\,MPa\]

Von Mises

\[\sigma_{VM} = \sqrt{ 94.31^2+ 3(167.5)^2 }\] \[\sigma_{VM} = 306.5\,MPa\]

Factor de seguridad

\[n= \frac{250}{306.5} = 0.82\]

Resultados

\[\boxed{\sigma=94.31\,MPa}\] \[\boxed{\tau=167.5\,MPa}\] \[\boxed{\sigma_1=221.16\,MPa}\] \[\boxed{\sigma_2=-126.84\,MPa}\] \[\boxed{\sigma_{VM}=306.5\,MPa}\] \[\boxed{n=0.82}\]

El eje falla por fluencia según Von Mises.

¿Cómo estudiar para el examen?

Se recomienda preparar los contenidos en el siguiente orden:

Paso 1

Repasar completamente la Guía de Fluidos.

Especial atención a:

Presión.
Bernoulli.
Ecuación General de la Energía.
Sistemas de tuberías.

Paso 2

Repasar completamente la Ayudantía 2.

Especial atención a:

Diagramas de cuerpo libre.
Equilibrio.
Reacciones.
Esfuerzo normal.
Deformación.
Ley de Hooke.
Torsión.

Paso 3

Resolver completamente esta ayudantía.

En particular:

Transformación de esfuerzos.
Círculo de Mohr.
Esfuerzos principales.
Von Mises.
Problemas combinados.

Consejo

En la mayoría de los problemas del examen, el procedimiento correcto es:

Determinar las cargas mediante equilibrio.
Calcular esfuerzos normales y/o cortantes.
Obtener los esfuerzos principales.
Aplicar el criterio de Von Mises cuando corresponda.
Verificar si el material trabaja de forma segura.

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